Carolin Antos de l'Université de Constance et Balthasar Grabmayr de l'Université de Tübingen discutent de la façon dont l'intelligence artificielle change la façon dont les gens interagissent avec les modèles mathématiques.
OpenAI a récemment annoncé que l'un de ses modèles d'IA résolvait l'un des problèmes les plus difficiles des mathématiques modernes : le problème de Navier-Stokes. Les équations au cœur de ce problème décrivent le mouvement de fluides comme l'eau et, selon la définition scientifique, l'air.
Les équations de Navier-Stokes sont essentielles à la compréhension de phénomènes tels que les courants océaniques, la circulation sanguine et le flux d'air au-dessus des ailes des avions. Encore mathématiciens ont lutté pendant des décennies pour déterminer s’il existe des solutions cohérentes à ces équations.
C'est pour cette raison que le Clay Mathematics Institute, basé aux États-Unis et dédié à la diffusion des connaissances mathématiques, a choisi le Problème Navier-Stokes comme l'un de ses sept Problèmes liés au prix du millénaire.
Il s’agit des problèmes non résolus les plus importants et les plus difficiles des mathématiques modernes, avec un prix d’un million de dollars américains offert pour la première solution correcte à chacun. Un problème qui a résisté à des générations de mathématiciens a donc apparemment été résolu. résolu par l'intelligence artificielle.
Même si ces progrès ont provoqué une onde de choc dans le monde mathématique, ils ne semblent être que la pointe de l’iceberg. Le 6 octobre 2026, OpenAI a présenté ses solutions à plus de 300 de longue date problèmes non résolus dans la plupart des domaines des mathématiques avec leur nouveau modèle interne.
Cela marque-t-il la fin des mathématiques en tant qu’entreprise humaine ? Répondre à cette question nécessite d'y regarder de plus près aux preuves mathématiques. D'une manière générale, une preuve est un argument en faveur d'une affirmation mathématique qui part d'hypothèses généralement acceptées et passe par les différentes étapes de raisonnement de l'affirmation.
Avant que les mathématiciens acceptent un tel argument comme preuve, ils doivent vérifier que chaque étape est correcte. Les ordinateurs peuvent de plus en plus contribuer à cette tâche, mais pour obtenir des résultats majeurs générés par l’IA, la supervision et l’expertise mathématiques humaines restent indispensables.
Cependant, une preuve entièrement vérifiée ne constitue pas la fin de l’histoire. Les mathématiciens ne veulent pas seulement savoir qu’un théorème est vrai ; ils veulent également comprendre pourquoi c’est vrai et ce que l’on peut apprendre de sa preuve.
Professeur Terence Taode l'Université de Californie à Los Angeles, est l'un des plus grands mathématiciens au monde et un ardent défenseur de l'utilisation de l'IA en mathématiques. Il a récemment a inventé le terme « digestion de preuve » pour les nombreuses façons dont les mathématiciens continuent de travailler avec une preuve une fois que son exactitude a été établie.
Ils peuvent réorganiser la preuve autour de concepts plus naturels, rationaliser un argument complexe, le relier à des mathématiques existantes ou extraire des méthodes pouvant être appliquées ailleurs. La digestion des preuves elle-même peut être très fructueuse et produire de nouvelles mathématiques.
Poursuite des travaux
Même une fois qu’une preuve a été digérée, le travail mathématique est rarement effectué. Les résultats mathématiques majeurs deviennent souvent des tremplins vers de nouveaux problèmes ouverts. Des variantes importantes du problème de Navier-Stokes, par exemple, ne peuvent pas être résolues par les méthodes de preuve récente proposées par OpenAI. Ceci est typique des avancées majeures ; leur importance réside souvent non seulement dans la réponse à une question de longue date, mais aussi dans l'introduction de nouveaux concepts mathématiques et l'ouverture de nouvelles lignes de recherche.
Souvent, une seule preuve ne suffit pas. Les mathématiciens recherchent régulièrement de nouvelles preuves de résultats déjà prouvés. Prenons, par exemple, le théorème de Pythagore: a²+b²=c². Cela concerne les trois longueurs d’un triangle rectangle.
Ce résultat a été prouvé dans l'Antiquité, mais un livre publié dans les années 1920 rassemble plus de 300 preuves du théorème de Pythagore établies au cours des deux derniers millénaires. Si le seul but d’une preuve est d’établir qu’un résultat est vrai, toutes ces preuves, sauf la plus ancienne, seraient redondantes.
Au contraire, c’est le contraire. Différentes preuves peuvent révéler de nouvelles informations sur les raisons pour lesquelles le résultat est vrai, découvrir de nouveaux liens avec des concepts d'autres domaines mathématiques ou suggérer de nouvelles méthodes de généralisation. Ainsi, les preuves ne sont pas seulement appréciées pour vérifier les résultats mathématiques, mais aussi pour l’explication et la compréhension qu’elles fournissent.
Ce qui rend exactement une preuve explicative ou éclairante est difficile à cerner – et reste un problème. sujet en cours en philosophie des mathématiques. Cela rend l’explication et la compréhension des objectifs beaucoup moins clairs pour l’IA que la simple production d’une preuve correcte.
Les récents progrès de l’IA transformeront probablement profondément la pratique mathématique. Mais les mathématiques ne consistent pas simplement à produire des réponses correctes à des problèmes non résolus. Les preuves doivent encore être comprises, réorganisées, connectées à d’autres résultats et utilisées pour générer de nouvelles questions.
À mesure que les modèles d’IA deviennent de plus en plus efficaces pour produire des preuves, ces autres aspects de la recherche mathématique pourraient devenir de plus en plus importants. Dans un avenir proche, il importera donc moins de savoir qui – ou quoi – peut produire une preuve que de savoir si celle-ci peut être utilisée pour le progrès mathématique.
Par Carolin Antos et Balthasar Grabmayr
Carolin Antos est professeure adjointe de philosophie à la Université de Constance. Elle travaille à l'interface de la philosophie, des mathématiques et de la logique. Après son arrivée à Constance grâce à une bourse Marie-Curie, elle devient membre de l'Institut d'études avancées de l'université. Ses travaux portent sur la philosophie des mathématiques, la philosophie des sciences et l'épistémologie.
Balthasar Grabmayr est professeur junior de philosophie à la Université de Tübingen. Avant cela, il était boursier postdoctoral international Azrieli au Département de philosophie de l'Université de Haïfa et occupait simultanément un poste postdoctoral à l'École d'informatique Blavatnik de l'Université de Tel Aviv. Il a obtenu son doctorat en philosophie à l'Université Humboldt de Berlin. Ses recherches portent principalement sur la logique et les philosophies de la logique, des mathématiques et du calcul.
